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向量组等价的必要条件

这里有,不好复制:向量组等价的条件:A={a1,a2,a3,,an} B={b1,b2,b3,,bn} r(A)=r(A|bi)并且 r(B)=r(B|ai) (i=1,2,,n)

只要满足大小和方向都相同就可以了.

矩阵等价充要条件:在线性代数和矩阵论中,有两个m*n阶矩阵A和B,如果这两个矩阵满足B=QAP(P是n*n阶可逆矩阵,Q是m*m阶可逆矩阵),那么这两个矩阵之间是等价关系.也就是说,存在可逆矩阵,A经过有限次的初等变换得到B.向量

这里有,不好复制:http://www.95678.cn/diannaoketang/xinshiji/xxds/xiangliang/09.htm向量组等价的条件:A={a1,a2,a3,,an} B={b1,b2,b3,,bn} r(A)=r(A|bi)并且 r(B)=r(B|ai) (i=1,2,,n)

只需证明:①两个向量组的秩相等.(可以用初等变换计算“矩阵”的秩而得) ②有一个向量组,它的每一个向量都可以用另一个向量组的向量线性表示.

a=a1i+a2j+a3k,b=b1i+b2j+b3k a∥b当且仅当a1/b1=a2/b2=a3/b3=λ,即它们所在过原点直线的方向数成比例,即a∥b当且仅当a=λb 一个向量a平行于另一个向量b,等价于a=λb 两个向量相互平行,它们完全可以重合,两向量重合时λ=1,重合即两向量相等,向量与自已肯定平行 要证明a=λb,即从条件入手,从几何条件将向量a转化为另一向量b

首先, B组可由A组线性表示的充分必要条件是 R(A)=R(A,B)这是因为A组的极大无关组也是{A,B}组的极大无关组同理, A组或由B组线性表示的充分必要条件是 R(B)=R(A,B).故 A和B等价的充要条件是R(A)=R(A,B)=R(B)

R(A) 表示A的极大线性无关组的中向量的个数R(A,B) 表示向量组A和B组成一个大向量组的极大线性无关组中向量的个数R(A)=R(A,B) 的充要条件为向量组A,B等价

知识抄点:向量组A,B等价的充要条件袭是 r(A)=r(A,B)=r(B).因为 A组可由B组线性表示百,所以 r(B,A) = r(B) 因为 r(A)=r(B),所以 r(A)=r(A,B)=r(B) 所以两个向量度组等价

证: 必要性因为A与B的行向量组等价所以A可经初等行变换化为B所以存在可逆矩阵P, 使得 PA=B易知 AX=0 的解是 PAX=0 的解.反之, PAX=0 的解 也是 P^-1PAX=0 即 AX=0 的解所以 AX=0 与 PAX=0 同解即 Ax=0与Bx=0同解.充分性由 Ax=0与Bx=0同解知 A,B 的行简化梯矩阵相同即存在可逆矩阵P,Q,使得 PA=QB所以 Q^-1PA=B所以 A与B的行向量组等价.

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